Matek érettségi 2022: döbbenet, mennyit esik 5 év alatt egy új autó ára

A mai napon mintegy 69 ezer diák vizsgázott középszinten matematikából, és szembesült azzal a kérdéssel, hogy ha egy 6 millió forint értékű új autó 5 év múlva már csak a felét éri, akkor mennyit veszít az értékéből 1 hónap alatt. Sokakat elrettenthetett a feladat már rögtön az elején a "lineáris becslési módszer" kifejezéssel, pedig a megoldás nem olyan bonyolult.

A mai matekérettségi 16. feladata egészen pontosan úgy szólt: "Az új autók értéke a megvásárlás pillanatától kezdve csökken. A csökkenés mértékét különböző modellekkel lehet becsülni" - írja a bevezető, majd az első alfeladattal folytatódik: "A lineáris becslési módszer szerint az autó minden hónapban ugyanannyi forintot veszít az értékéből."

a) Egy újonnan 6 millió forintba kerülő autó értéke a lineáris becslési módszer szerint 5 év alatt csökken a felére. Hány forinttal csökken az autó értéke egy hónap alatt?

EZ IS ÉRDEKELHET

Matematika érettségi 2022: matek vizsgatippek, feladatok, megoldások, eredmények egy helyen

Milyen feladatok voltak a matematika érettségi vizsgán 2022-ben? Hol található a 2022-es matekérettségi feladatsor? Mi a matek érettségi feladatainak megoldása? Mutatjuk.

Majd így folytatódik a feladat: "Az exponenciális modell szerint az új autó értéke havonta 1%-kal csökken."

b) Hány forintra csökken a 6 millió forintba kerülő autó értéke két év alatt az exponenciális modell szerint, és ez hány százalékos csökkenést jelent az új kori értékéhez képest?

c) Hány hónap alatt csökken a felére az autó értéke az exponenciális modell szerint?

Már sokakat ez a három kérdés is elrettenthetett a feladattól. Viszont volt még egy utolsó kérdés is.

Nem vészes a megoldás

Nem szabad megijedni az ilyen nagy szavaktól, minthogy "lineáris becslési módszer", hiszen a feladat maga elmagyarázza miről is van szó: "A lineáris becslési módszer szerint az autó minden hónapban ugyanannyi forintot veszít az értékéből." Ennyit bőven elég tudni. Szóval, ha egy újonnan 6 millió forintba kerülő autó értéke a lineáris becslési módszer szerint 5 év alatt csökken a felére, hogyan számoljuk ki, hány forinttal csökken az autó értéke egy hónap alatt?

Először is, 5 év, az 60 hónap, ugyanis egy év az 12 hónapból áll. Ezek szerint 60 hónap alatt 3 millióval csökken a kocsi értéke, merthogy ennyi a 6 millió fele. Nos, ha "a lineáris becslési módszer szerint az autó minden hónapban ugyanannyi forintot veszít az értékéből", akkor csak szépen el kell osztani, hogy a 3 millióból mennyi jut egy hónapra. Az jön ki, hogy 50 ezer forint. Valószínűleg a feladatmegoldásban számtani sorozat felírására lehetne szép pontszámot kapni, viszont még csak arra sincs feltétlen szükség a megoldáshoz. Eddig nem vészes.

Kíváncsi vagy mennyi lenne a törlesztője egy 6 milliós új autónak? Számold ki a Pénzcentrum kalkulátorával!

A b) kérdés viszont már trükkösebb, rögtön kettőt is kérdez: "Az exponenciális modell szerint az új autó értéke havonta 1%-kal csökken. Hány forintra csökken a 6 millió forintba kerülő autó értéke két év alatt az exponenciális modell szerint, és ez hány százalékos csökkenést jelent az új kori értékéhez képest?"

Ez azt jelenti, hogy a milliós új autónk a következő hónapban már csak az eredeti ár 99%-át fogja érni, vagyis 5 millió 940 ezer forintot, merthogy 1 százalékkal, 60 ezer forinttal csökkent. Viszont következő hónapban nem csak simán 60 ezer forinttal fog kevesebbet érni. (Az ugyanaz lenne, mint az első feladat volt, a lineáris módszer.) Nem, valójában az 5 millió 940 ezer forint 1 százalékával fog csökkenni az értéke, 59 400 forinttal. És így tovább.

De honnan lehet tudni, hogy akkor két év múlva mennyi lesz? Megtehetjük, hogy egyesével felszorozgatjuk, a semminél az is jobb, és a végeredmény pontot is ér. Viszont, mint általában mindenre, erre is van egy képlet. Ez is egy sorozat lesz, csak nem számtani, mint az előző, hanem mértani. Még valamennyit az is segít, hogy exponenciális modellnek nevezi, hogy mit is kell csinálni.

Kezdjük ott, hogy mértani sorozat első eleme, kiinduló pontja 6 millió forint lesz. A második eleme úgy jön ki, hogy megszorozzuk az elsőt 0,99-cel. (Így megkapjuk a 99%-át. Persze lehet előbb venni az egy százalékát, és kivonni, de az egy lépéssel több, az eredmény pedig ugyanaz.) Kijött az 5 940 000 forint. A második hónap, vagyik a sorozat harmadik eleme úgy jön ki, hogy 5 940 000-ret szorozzuk 0,99-cel. Tehát lényegében 6 milliót szoroztuk eddig 0,99-cel, és ismét 0,99-cel - vagyis 0,99 a négyzetennel! Így jött ki a harmadik elem.

Nézd meg az autóhitel kalkulátorban, mennyi lenne egy 6 milliós autó törlesztője!

Vagyis ha meg akarjuk kapni, hogy két év - 24 hónap!) eltelte után mennyi lesz az értéke a kocsinak, akkor fogjuk a 0,99-et, a 24-dik hatványra emeljük és megszorozzuk 6 millióval. Kerekítve 4 714 069 forint jön ki.

De ez még csak a kérdés egyik fele volt!

Mert azt is kérdezi, hogy akkor végülis hány százalékkal csökkent 2 év alatt a kocsi értéke? Szóval fogjuk a számot, ami kijött, kivonjuk a 6 millióból, hiszen így kapjuk meg, hogy forintban mennyit csökkent. Majd kiszámoljuk, hogy az érték hány százaléka is a 6 milliónak, így pedig 21,4 százalék jön ki. Vagy azt is kiszámolhatjuk, hogy a 4,7 milló hány százaléka a 6-nak, és azt kivonhatjuk a 100%-ból, az eredmény ugyanez.

Viszont most jön még csak a neheze!

A c) részben ugyanis azt kérdezik, hogy hány hónap alatt csökken a felére az autó értéke az exponenciális modell szerint. Itt pedig elő kell venni azt a matekos területet, amit a legtöbb felnőtt példaként szokott hozni, hogy milyen hasztalan volt megtanulni. A logaritmust! Most ugyanis nem arra leszünk kiváncsiak, hogy a 0,99-et az eltelt hónapok számával azonos kitevőre emelve mennyi az eredmény. Hanem éppen a hónapok számát, vagyis a hatványkitevőt keressük.

Azt pedig az érettségizők álmukból felverve is tudják, hogy áalapúlogaritmusbéazakitevőamireátemelvebétkapjuk. Vagy ha ezt nem is, akkor csak eszükbe jut, ha a hatványkitevő a kérdés, akkor valamit a logaritmussal kell trükközni. Mert egyébként valószínűleg ha csak odafirkantotta a lapra a diák, hogy log, azért már jár a pont. Szóval valójában a kérdés az, hogy milyen kitevőre kell emelnem a 0,99-et és megszoroznom 6 millióval, hogy 3 milliót kapjak. Az egyszerűsítés kedvéért leosztjuk a 3 milliót 6 millióval, így az jön ki, hogy 0,5=0,99^x. Tehát a logaritmus alapja a 0,99 lesz, mert azt akarom x-dik hatványra emelni.

A számológép szerint 0,99 alapú logaritmus 0,5 egyenlő 68,97, vagyis csaknem 69 hónap, vagyis kb. 5 év 9 hónap alatt csökken a felére a 6 milliós új autó értéke. 

Tényleg ilyen sokkal csökken az új autók értéke?

Azért is foglalkozunk most ezzel az érettségi feladattal, hiszen a téma, amit érint, igen fontos. Az értékcsökkenés ugyanis érint minden új autót, azonban nem ugyanolyan mértékben. Nagyban függ az autó márkájától, típusától, hogy valóban csak a felét éri-e majd 5-6 év után. A mostani helyzetben pedig, amikor az autógyártás is jócskán sújtják a különféle válságok, és a használt autók felértékelődnek, végképp nem biztos, hogy ilyen hamar elvesztik majd az értéküket.

Amikor új autót vásárol valaki, azt is érdemes figyelembe vennie a választásnál, hogy mekkora értékcsökkenésre számíthat majd. Van olyan modell, amely pl. 3 év alatt mindössze 30 százalékot vesztett az új árából, más modellek viszont akár 70%-kal is csökkenhetnek. Erről bővebben ebben a cikkben írtunk:

EZ IS ÉRDEKELHET

Brutális, mennyit esik 3 év alatt az új autók ára: itt a top 10-es márkalista

Amint kigurulunk a szalonból az új autónkkal, az rögtön kevesebbet ér, mint amennyiért megvettük. Az értékcsökkenés azonban minden modellnél más mértékű.